Ejercicios resueltos de volúmenes

METODO DE LOS DISCOS:

1) Hallar el volumen del solido obtenido al hacer girar alrededor del eje x la region bajo la curva:
y = √x , de 0 a 1.

-solucion:
el solido esta entre x=0 y x=1, graficamos y sacamos un disco (disco rosado).

el volumen de este disco sera:

V= π(√x)² = πx

V= A(X) dx = πx dx = π calculado entre 0 y 1 = =

2) Encuentre el volumen del solido obtenido al hacer girar la region limitada por
, y , alrededor del eje y.

-solucion:

tenemos que despejar a en terminos de y asi:

graficamos y sacamos el disco (disco rosado):






el volumen de este disco sera:

calculado entre 0 y 8

METODO DE LOS ANILLOS:

3) Encuentre el volumen del solido obtenido al girar la región encerrada por las curvas
y= x y y= x² en torno al eje x.

-solución:
Primero tenemos que igualar las curvas para obtener sus puntos de intersección:

x=x²
x−x²=0
X (x−1)=0
x=0 y x=1

ya con los puntos de intersección graficamos y rotamos, sacando el anillo que nos resulta (anillo rosado)

En este punto tenemos que mirar cual es el radio externo y cual el interno
El radio interno es y= x² y el radio externo es y= x.

Ahora hallamos el volumen:

V=π (R²−r²) dx

V=π = calculado entre 0 y 1 =

METODO DE LOS CASCARONES CILINDRICOS:

4) la region acotada por la grafica de y= 2x−x ² alrededor del eje y¸ calcule el volumen del solido resultante.

-solucion:

graficamos y obtenemos:

donde wi es el radio de el cascaron y el grueso es Axi, y la altura es y= 2x−x ² tenemos que el volumen del cascaron es:

2πWi(2Wi − Wi²) ∆Xi

V= 2π x(2x − x²) dx

V= 2π

calculado entre 0 y 8