Curso de Calculo Integral

Integrantes:

Jhon Alvaro Ramirez Vega cod: 1073162497

Juan Sebastian Suarez Baez cod: 1014228854

Ingenieria Mecanica

Tema: Calculo de volumenes.

Ejercicios resueltos de volúmenes

METODO DE LOS DISCOS:

1) Hallar el volumen del solido obtenido al hacer girar alrededor del eje x la region bajo la curva:
y = √x , de 0 a 1.

-solucion:
el solido esta entre x=0 y x=1, graficamos y sacamos un disco (disco rosado).

el volumen de este disco sera:

V= π(√x)² = πx

V= A(X) dx = πx dx = π calculado entre 0 y 1 = =

2) Encuentre el volumen del solido obtenido al hacer girar la region limitada por
, y , alrededor del eje y.

-solucion:

tenemos que despejar a en terminos de y asi:

graficamos y sacamos el disco (disco rosado):






el volumen de este disco sera:

calculado entre 0 y 8

METODO DE LOS ANILLOS:

3) Encuentre el volumen del solido obtenido al girar la región encerrada por las curvas
y= x y y= x² en torno al eje x.

-solución:
Primero tenemos que igualar las curvas para obtener sus puntos de intersección:

x=x²
x−x²=0
X (x−1)=0
x=0 y x=1

ya con los puntos de intersección graficamos y rotamos, sacando el anillo que nos resulta (anillo rosado)

En este punto tenemos que mirar cual es el radio externo y cual el interno
El radio interno es y= x² y el radio externo es y= x.

Ahora hallamos el volumen:

V=π (R²−r²) dx

V=π = calculado entre 0 y 1 =

METODO DE LOS CASCARONES CILINDRICOS:

4) la region acotada por la grafica de y= 2x−x ² alrededor del eje y¸ calcule el volumen del solido resultante.

-solucion:

graficamos y obtenemos:

donde wi es el radio de el cascaron y el grueso es Axi, y la altura es y= 2x−x ² tenemos que el volumen del cascaron es:

2πWi(2Wi − Wi²) ∆Xi

V= 2π x(2x − x²) dx

V= 2π

calculado entre 0 y 8

QUE ES EL VOLUMEN.

Primero debemos tener claro que es un volumen para luego hacernos una idea de como calcularlo en el cálculo integral. Un volumen es una magnitud definida como el espacio ocupado por un cuerpo. Es una función derivada ya que se halla multiplicando las tres dimensiones.

En matemáticas el volumen es una medida que se define como los demás conceptos métricos a partir de una distancia o tensor métrico.

En física, el volumen es una magnitud física extensiva asociada a la propiedad de los cuerpos físicos de ser extensos, que a su vez se debe al principio de exclusión de Pauli.
La unidad de medida de volumen en el Sistema Internacional de Unidades es el metro cúbico, aunque temporalmente también acepta el litro, que se utiliza comúnmente en la vida práctica.

V = m / densidad.

A continuación mostraremos algunas de las formas geométricas más comunes, y las ecuaciones para hallar su volumen.

cilindro:

piramide:

1/3(area de la base) h

cubo:

V= A.B.C

METODO DE LOS DISCOS:

este metodo consiste en cojer una seccion transversal de la figura, que al momento de hacerla girar alrededor de algun eje nos genere una forma la cual calcularemos su volumen con la siguiente ecuacion:

V = π f(x) dx

en donde el volumen es igual a la integral de la funcion f(x) al cuadrado por dx.

METODO DE ANILLOS:

Este metodo lo usamos cuando tenemos 2 funciones a graficar y estan nos forman un solido hueco, al rotarlo sacamos un disco que tiene forma de anillo:

PARA HALLAR EL VOLUMEN DE ESTE ANILLO USAMOS :

donde h es la altura, R es el radio externo o mayor, y r es el radio interno menor.

con esto usamos la integral para hallar el volumen:

METODO DE LOS CASCARONES CILINDRICOS:

este metodo lo usamos para hallar volumenes de solidos cuando tenemos una funcion que al rotarla nos produce un solido hueco pero al querer usar el metodo de anillos solo contamos con solo radio y al sacar un anillo obtenemos un cilindro:

asi obtenemos la integral para hallar el volumen:

APLICACIONES EN LA INGENIERIA MECANICA.

Una aplicacion importante de la integral, la tenemos en el uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional. Ahora veremos los sólidos de revolución. Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción como lo son en procesos de mecanizado, tales como el torneado en donde se usa mucho el consepto de volumen por revolucion. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.

Se denomina torno a un conjunto de máquinas herramienta que permiten mecanizar piezas de forma geométrica de revolución. Estas máquinas-herramienta operan haciendo girar la pieza a mecanizar (sujeta en el cabezal o fijada entre los puntos de chale quede fuera contraje) mientras una o varias herramientas de corte son empujadas en un movimiento regulado de avance contra la superficie de la pieza, cortando la viruta de acuerdo con las condiciones tecnológicas de mecanizado adecuadas. Desde el inicio de la Revolución industrial, el torno se ha convertido en una máquina básica en el proceso industrial de mecanizado.